以前读论文，经常看到下面这样的三维轨道的投影图：

（作者：Peng Hao）

（作者：Peng Hao）

把三维轨迹和三个平面投影结合起来，可以更加明了地展示轨道的立体结构，后来我也深受这种画图技巧的影响。但是，无论是 Mathematica 还是 MATLAB，目前主流的版本均没有提供直接画三维投影的内置函数。MATLAB 向来不在我们的讨论范围之内，这次我们讨论怎样用 Mathematica 画投影图。

官方给出的解决方案

在 Mathematica 帮助文档的搜索框输入一串鲜为人知的字符：Compatibility/tutorial/Graphics/Graphics3D，将进入一个兼容性信息页面，这个页面里面说明了很多特殊且很有实用价值的画图技巧：

在这个页面的最底端，有一个绘制投影图的示例：

这个示例就是官方给出的绘制投影图最好的解决方案，它适用于各种图形元素，包括点、线、曲面、实体等等，基本没有 bug。所以，画投影图首选这种方式。

但是，每次画投影图都需要写这么长的代码，恐怕不是我们所希望的。而且，如果只想画出某些投影面，或者想令投影面偏移到特定的位置，此时如何进行设置也是很大的问题。

ShadowFigure 扩展包

根据上文的需求，我对官方提供的代码进行改造，并把它封装成一个函数，代码已经在 Gitee 开源（原创的代码，欢迎 Star，欢迎 Fork）。

ShadowFigure 包可以通过下面的命令一键导入：

Get["https://github.com/qingyayaya/graphics3D/raw/master/ShadowFigure.m"]

用 ShadowFigure 函数绘制一个立方体的投影图：

ShadowFigure 函数可以指定以下属性：

名称	含义
XShadow	是否绘制 X 方向的投影
YShadow	是否绘制 Y 方向的投影
ZShadow	是否绘制 Z 方向的投影
XShadowPosition	X 方向投影的偏移量
YShadowPosition	Y 方向投影的偏移量
ZShadowPosition	Z 方向投影的偏移量

这样使用起来就方便多了。比如，不绘制 Z 方向的投影、并把 Y 方向投影的偏移量设为 3：

画一下 Spikey 的投影：

点和线也是可以的：

多边形：

这个函数还有很多不完美的地方，但是就以上几个例子来看，还是能满足一些简单的需求的。

Graphics3D 扩展包

其实在 Mathematica 5.2 版本之前，画投影图是一件非常容易的事情，因为彼时 Graphics3D 扩展包还是内置的扩展包，只需运行：

<< Graphics`Graphics3D`

即可加载。包里有两个函数 Shadow 和 Project，专用于画投影图。不过，官方从 6.0 版本之后（10 多年前）开始信奉去包化策略，Graphics3D 扩展包被剔除。

下载

在 http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/6766/ 仍然可以下载到 Graphics3D 扩展包：

但是，高版本的 Mathematica 无法兼容这个包，如果强行导入，将引起一连串的报错，比如：

其中第一条错误就是：

Graphics`Graphics3D` 已经过期. 正在加载的旧版本可能与目前的功能相冲突.

修复

对于这个最近一次更新是在 2007 年的远古扩展包，里面有非常多的语法和函数不能和高版本的Mathematica 相兼容，是一件无可厚非的事情，而对其进行修复的主要任务也就是处理这些不兼容项。

经过仔细阅读提示信息，总结出不兼容项主要包括以下几类：

1. 提示 Graphics`Graphics3D` 已经过期
2. Graphics`Common`GraphicsCommon`、Utilities`FilterOptions`、Statistics`DataManipulation` 等，这些所依赖的其他扩展包已经被高版本的 Mathematica 移除
3. 包里的 BarChart3D 和 Histogram3D 等函数被保护，也就是现在高版本的 Mathematica 已经将它们收为内置函数

>> 对于第 1 条，可以不必关心。如果实在不想看到，不妨给它改个名字。

>> 对于第 2 条，通读源代码，发现有无 Graphics`Common`GraphicsCommon` 和 Statistics`DataManipulation` 影响不大（经过实际测试，将其删除后，的确影响不大）。但是，Utilities`FilterOptions` 包里的 FilterOptions 函数被多次使用，所以轻易不能删去。不过，Utilities`FilterOptions` 包在 Mathematica 9.0 版本后被彻底删除，那么该怎么替换掉 FilterOptions 函数呢？找到了解决方案。

只需要在包里增加下面这行代码即可：

If[$VersionNumber>=9,Graphics`Graphics3D`Private`FilterOptions[a_,b___]:=Sequence@@FilterRules[{b},Options[a]]];

>> 对于第 3 条，可以直接把包里的 BarChart3D 和 Histogram3D 等函数删除，因为它们已经成为内置函数。

到此为止，已经完成了修复。除了 Shadow 和 Project 函数，修复后的包里还包含一些其他的函数：

名称	保留	备注
ScatterPlot3D	✓
ShadowPlot3D	✓
ListShadowPlot3D	✓
Project	✓
Shadow	✓
TransformGraphcs3D	✓
SkewGraphics3D	✓	有 Bug
StackGraphics	✓	有 Bug
Histogram3D	✗	已内置
BarChart3D	✗	已内置
ListSurfacePlot3D	✗	已内置

使用

修复后的 Graphics3D 扩展包的代码已经在 Gitee 开源（和上文的 ShadowFigure 放在同一个仓库里），通过下面的命令可以一键导入：

Get["https://gitee.com/qingyaya/graphics3D/raw/master/Graphics3D.m"]

运行上面的代码会报一个错误，即依然会提示 Graphics`Graphics3D` 已经过期，前面已经说过了，不用管它，如果实在不想看到，不妨给它改个名字。

导入之后，看 Shadow 函数的一个示例：

不足

通过在修复的过程中阅读源代码，我发现这个包被官方抛弃，是有原因的，因为源代码的思想已经较为落后。

它可以支持 Point、Line、Polygon、Cuboid 等元素，但是不支持 Sphere、Ellipsoid、Cylinder 等元素，因为源代码是先匹配元素的种类，再根据每种元素的特点，对其投影单独进行处理。比如，对 Line 有一套投影算法，对 Cuboid 又是另一套投影算法，这就导致通用性和兼容性非常差。再比如，源代码根本没有考虑到 Ellipsoid 这种元素（事实上，Ellipsoid 是 2014 年 Mathematica 10.0 版本引入的，而 Graphics3D 扩展包在 2007 年停止维护），自然没法画出它的投影。

相比之下，官方最新给出的解决方案使用的是 Scale 函数进行投影，Scale 函数对所有元素具有通用性，因此这才是比较好的解决方案。所以，从现实的角度出发，非常不提倡去维护一个数字形式的老古董，否则就是自寻烦恼。

结尾

对于用 Mathematica 画投影图的问题，给出了 ShadowFigure 扩展包和修复后的 Graphics3D 扩展包，更推荐使用 ShadowFigure 扩展包。